[이산수학]관계의 성질이란?(반사, 비반사, 대칭, 추이)

[이산수학]관계의 성질이란?(반사, 대칭, 추이)

반사 성질에 따라

 ■ 반사관계(Reflexive Relation)

모든 a ∈ A에 대해 (a, a) ∈ R인 관계

 

집합 A에 대한 관계 R이 반사관계가 성립하려면 집합 A의 모든 원소가 자기 자신과 대응하는 순서쌍을 가지고 있어야 합니다. 예를 들어 집합 A = {1, 2, 3} 에 대한 관계 R이 반사관계가 되려면 순서쌍 (1, 1), (2, 2), (3, 3)이 모두 관계 R의 원소로 포함되어 있어야 합니다. 

 

 ■ 비반사관계 (Irreflexive Relation 

모든 a ∈ A에 대해 (a, a) ∉ R인 관계

 

집합 A에 포함된 모든 원소에 대해 (a. a)가 관계 R에 존재하지 않는 관계입니다. 그러므로 집합 A에 포함되는 원소 중 하나라도 (a, a)가 관계 R에 존재하면 비반사관계가 될 수 없습니다. 

 

 

출처: http://contents.kocw.or.kr/KOCW/document/2015/chungbuk/leechungse/2.pdf

 

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대칭 성질에 따라

 ■ 대칭관계(Symmetric Relation)

어떤 a, b ∈ A에 대해 (a, b) ∈ R이면  (b, a) ∈ R인 관계

 

집합 A에 대한 관계 R이 대칭관계가 되려면, 관계 R에 포함된 모든 순서쌍이 대칭되는 순서쌍을 갖고 있어야 합니다. 집합 A = {1, 2, 3} 대한 관계 R = {(1, 1), (1. 2).(2. 1). (2. 3). (3. 2)} 라면, 관계 R에 포함되는 순서쌍을 잘 살펴봐야 합니다. (1, 1)의 경우 대칭이 된 순서쌍도 (1. 1)이므로, 대칭되는 순서쌍이 존재합니다. (1, 2)의 경우 대칭되는 순서쌍 (2, 1)이 있습니다. 다시(2, 1)은 (1,2)와, (2. 3)은 (3, 2)와, (3, 2)는  (2, 3)과 대칭이 되므로 관계 R에 포함하는 모든 순서쌍은 대칭되는 순서쌍이 존재한다. 이러한 관계를 대칭관계라고 합니다. 

 

 ■ 반대칭관계(Asymmetric Relation)

어떤 a, b ∈ A에 대해 (a, b) ∈ R일 때  (b, a) ∈ R이면 a = b인 관계

 

어떤 a, b ∈ A에 대해 (a, b) ∈ R일 때,  (b, a) ∈ R이면 a = b고, a ≠ b이면  (b, a) ∉ R이 관계

예)

{(1, 1), (3. 3).(2. 1)}

{(4, 1), (3. 3).(5. 2),(1, 2)}

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대칭 성질에 따른

■ 추이관계(Transitive Relation)

어떤 a, b ∈ A에 대해 (a, b) ∈ R일 때  (b, c) ∈ R인 이면 (a, c) ∈ R인 관계

 

관계 R에 포함되는 모든 순서쌍 간에(추이관계를 고려할 필요없는 순서쌍을 제외하고) 추이관계가 존재하는 경우 관계 R을 추이관계라고 합니다. 또한 집합 A에 대한 관계 R = {(1, 3)} 이라면, 추이관계를 고려할 만한 순서쌍이 없기 때문에 이런 경우도 추이관계가 성립합니다. 

 

 

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