[이산수학]함수의 종류(항등함수, 역함수, 상수함수, 특성함수, 바닥함수, 천정함수)

 

 

■ 항등함수(Identity Function)

집합 A에 대한 함수 f: A → A가 f(a) = a로 정의되는 관계

 

- 정의역과 공변역이 같고 입력한 정의역 원소의 값과 출력된 치역의 원소의 값이 같은 함수를 항등함수라고 합니다.

- 그래서 항등함수는 정의역, 공변역, 치역이 모두 같습니다. 

- 정의역 원소가 서로 다를 때 그에 대응하는 결과도 서로 다르므로 단사함수입니다.

- 공변역의 모든 원소 y가 f(x) = y를 만족하는 정의역 원소 x를 갖으므로, 전사함수이기도 합니다. 

- 단사함수이기도 하고, 전사함수이기도 하므로 항등함수는 전단사함수입니다. 

 

항등함수와 다른 함수와의 합성은 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 

 

■ 역함수(Inverse Function)

전단사함수 f: A → B에 대해 B → A로 대응되는 관계

함수 f의 역행렬을 구하려면 함수 f가 반드시 전단사함수여야 합니다. 

 

 

 

■ 상수함수(Constant Function)

함수 f: A → B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소 하나에만 대응하는 관계

∀a ∈ A, ∃c ∈ B에 대해 f(a) = c

 

 

■ 특성함수(Characteristic Function)

전체집합 U에 속한 어떤 집합 A에 대해 다음과 같은 성질을 갖는 관계

- 관계행렬과 같이 어떤 집합에 원소가 있는지 없는지를 판별하는 함수

- 입력에 대응하는 출력이 있다는 의미의 1과 없다는 의미의 0만 존재

 

■ 바닥함수(Floor Fucnction) / 최대정수함수(Greatest Integer Function)

x ∈ R에 대해 x와 같거나 x보다 작은 정수들 중 가장 큰 정수를 대응하는 함수

⌊ x ⌋ = n ⇔ n ≤ x < n + 1

 

 

■ 천정함수(Ceiling Fucnction) / 최소정수함수(Laest Integer Function)

x ∈ R에 대해 x와 같거나 x보다 작은 정수들 중 가장 큰 정수를 대응하는 함수

⌈ x ⌉ = n ⇔ n - 1 < x ≤ n 

 

 

 

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