[이산수학] 함수의 상, 정의역, 공변역, 치역

■ 상(Image), 정의역(Domain), 공변역(Codomain), 치역(Range)

집합 A에서 집합 B로 가는 함수 f: A → B에 대해, 

집합 A의 원소 a에 대응하는 집합 B의 원소 b는 상(함숫값)라고 한다. 

집합 A를 정의역라고 하며 dom(f)로 표기한다. 

집합 B를 공변역라고 하며 codom(f)로 표기한다. 

상(함숫값)의 집합을 치역라고 하며 ran(f)={f(a)|a ∈ A}로 표기한다. 

 

예제

다음은 집합 A에서 집합 B로 가는 관계를 보이는 그림입니다. 함수인지 아닌지 판별하고 함수면 정의역, 공변역, 치역을 구하세요. 

 

풀이 

(1) 집합 A의 원소 중 c에 대응되는 상을 갖지 않습니다. 

∴ 함수가 아니기 때문에 정의역, 공변역, 치역을 구할 수 없습니다. 

 

(2) 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소 하나씩 대응됩니다.  

∴ 함수입니다.

정의역 dom(f) = {a, b, c}

공변역 codom(f) = {1, 2, 3}

치역 ran(f) = {1, 2}

 

■ 함수의 연산(합(Sum)과 곱(Product))

두 함수 모두 공변역이 실수일 때 함수 간의 연산도 가능합니다. 

 

- 두 함수 f: X → R과 g: Y  →R이 있을 때,

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

(fg)(x) = f(x) · g(x)

 

- 함수의 합과 공에 대한 정의역

dom(f+g) = dom(fg) = dom(f) ∩ dom(g)  

 

예제

다음 두 함수의 합과 곱을 구하고, 그 정의역을 구하세요. 

dom(f) = {x|-10 < x < ∞ , x ∈ R}일 때, f(x) = x - 2

dom(g) = {x|-20 < x < 20 , x ∈ R}일 때, g(x) = |x|

 

 

풀이 

f + g = (x - 2) + |x|

fg = (x - 2) · |x|

dom(f+g) = dom(fg) = dom(f) ∩ dom(g) =  {x|-10 < x < 20 , x ∈ R}

 

 

 

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