[이산수학]관계의 정의역, 공번역, 치역이란? 구하는 법은?
관계와 관련된 집합들의 명칭은 위치나 의미에 따라 달리 표현합니다. ■ 정의역(Domain) 집합 A에서 집합 B로 가는 이항관계 R에 속한 순서쌍의 첫 번째 원소가 포함되어 있는 집함, 즉 집합 A dom(R)={a|a∈A} ■ 공번역(Codomain) 집합 A에서 집합 B로 가는 이항관계 R에 속한 순서쌍의 두 번째 원소가 포함되어 있는 집합, 즉 집합 B codom(R)={b|b∈B} ■ 치역(Range) 집합 A에서 집합 B로 가는 관계 R에 속한 순서쌍의 두 번째 원소들을 모아놓은 집합, 공번역의 부분집합 ran(R)={b|(a,b)∈R}⊆B 예제 집합 A = {(x|1≤x≤5, x는 정수}이고, A에서 A로 가는 관계 R은 다음과 같을 때, 관계 R의 정의역, 공변역, 치역을 구하세요. R =..
2020. 8. 2.
[이산수학]동치관계와 동치류란?_예제포함
이산수학 동치관계, 동치류 예제로 이해하기 ■ 동치관계 관계에서 동치관계라는 것은 집합의 원소들이 '같다'라는 것을 의미합니다. 즉 어떤 관계가 동치관계라고 하면, 그 관계에 포함된 순서쌍 원소 (a, b)에서 a와 b가 '같다'고 할 수 있습니다. 10진수의 7과 2인수 111이 같은 수임을 의미하는 것과 같습니다. 동치관계가 성립되려면 반사관계, 대칭관계, 추이관계가 모두 성립해야 합니다. 예제 정수 집합 Z에 대한 관계 R = {(a,b) ∈ Z × Z|a=b} 일 때, 관계 R이 동치관계인지 판별하라. 풀이 더보기 예제풀이 - (a,b) ∈ R일 때, a = b이다. ∴관계 R은 반사관계다. - (a,b) ∈ R일 때, a = b므로 b = a도 성립하여 (b, a) ∈ R이다. ∴관계 R은 대칭..
2020. 7. 30.
[이산수학]관계의 성질이란?(반사, 비반사, 대칭, 추이)
[이산수학]관계의 성질이란?(반사, 대칭, 추이) 반사 성질에 따라 ■ 반사관계(Reflexive Relation) 모든 a ∈ A에 대해 (a, a) ∈ R인 관계 집합 A에 대한 관계 R이 반사관계가 성립하려면 집합 A의 모든 원소가 자기 자신과 대응하는 순서쌍을 가지고 있어야 합니다. 예를 들어 집합 A = {1, 2, 3} 에 대한 관계 R이 반사관계가 되려면 순서쌍 (1, 1), (2, 2), (3, 3)이 모두 관계 R의 원소로 포함되어 있어야 합니다. ■ 비반사관계 (Irreflexive Relation 모든 a ∈ A에 대해 (a, a) ∉ R인 관계 집합 A에 포함된 모든 원소에 대해 (a. a)가 관계 R에 존재하지 않는 관계입니다. 그러므로 집합 A에 포함되는 원소 중 하나라도 (a,..
2020. 7. 30.
[이산수학]관계의 표현 종류(화살표선도,좌표도표,관계행렬,방향그래프)
[이산수학]관계의 표현 종류(화살표선도,좌표도표,관계행렬,방향그래프) ■ 화살표 선도(Arrow Diagram) 집합 A에서 집합 B로 가는 관계 R이 있을 때, 두 집합 원소 사이의 관계를 화살표로 나타내는 방법 관계는 둘 이상의 집합 원소들 간의 대응을 보여주는 것입니다. 화살표 선도를 이용해 표기할 수 있습니다. 순서쌍의 집합에서 순서쌍의 앞에 있는 원소에서 시작하여 순서쌍의 위에 오는 원소로 향하는 화살표로 표기합니다. 예를 들어 집합 A = {1, 2, 3}과 집합 B = {a, b}의 이항관계 R = {(1, b), (2, a), (2, b), (3, a)}를 화살표 선도로 표현하면 두 집합 간에 네 개의 화살표가 그려집니다. ■ 좌표도표(Coordinate Diagram) 집합 A에서 집합 ..
2020. 7. 30.
[이산수학]관계의 유형_이항관계(Binary), n항관계(n-ary), 역관계(Inverse)란?_예제포함
이산수학 이항관계(Binary), n항관계(n-ary), 역관계(Inverse)란? ■ 이항관계(Binary Relation) 집합 A, B가 있을 때, 집합 A에서 집합 B로 가는 관계로, A × B의 부분집합 두 개의 집합 A, B에 속하는 원소들 중 a∈A와 b∈B 간에 관계가 존재할 때, 이러한 관계를 이항관계라고 합니다. 이 이항관계에 포항되는 순서쌍들은 학생 정보 집합의 곱집합의 부분집합입니다. 예제 집합 A = {1, 2}, 집합 B = {a, b, c} 일 때, A에서 B로 가는 가능한 관계 R를 구하라. 풀이 더보기 예제풀이 집합 A와 집합 B 간의 가능한 관계 R은 A × B 집합이다. ∴ A × B = {(1, a),(1, b),(1, c),(2, a),(2, b),(2, c)} ■ ..
2020. 7. 30.
[이산수학]관계의 정의역(Domain), 공변역(Codomain), 치역(Range)이란?_예제포함
[이산수학]관계의 정의역(Domain), 공변역(Codomain), 치역(Range)이란? ■ 정의역(Domain) 집합 A에서 집합 B로 가는 이항관계 R에 속한 순서쌍의 첫 번째 원소가 포함되어 있는 집합, 즉 집합 A dom(R) = {a|a ∈ A} ■ 공변역(Codomain) 집합 A에서 집합 B로 가는 이항관계 R에 속한 순서쌍의 두 번째 원소가 포함되어 있는 집합, 즉 집합 B codom(R) = {b|b ∈ A} ■ 치역(Range) 집합 A에서 집합 B로 가는 관계 R에 속한 순서쌍의 두 번째 원소들을 모아놓은 집합, 공변역의 부분집합 ran(R) = {b|(a, b) ∈ R} ⊆ B 예제 집합 A = {x|1 ≤ x ≤ 5, x는 정수} 일 때, A에서 A로 가는 관계 R은 다음과 같다..
2020. 7. 30.
[이산수학]행렬식이란?2차, 3차 구하는 법(소행렬, 소행렬식, 여인수, 여인수행렬 개념까지)
이산수학 행렬식이란?2차, 3차 구하는 법(소행렬, 소행렬식, 여인수, 여인수행렬 개념까지) 행렬은 하나의 배열 구조 안에 하나 이상의 실수 집합으로 구성됩니다. 행렬식은 이러한 구조의 행렬 중에서도 정사각행렬을 대표하는 수를 구하는 식으로, 역행을 구하는 데 유용하게 쓰입니다. ■ 행렬식(Determinant) n차 정사각행렬에 대응하는 수를 구하는 식 □ 2차 정사각행렬 2차 정사각행렬의 행렬식을 구해보겠습니다. 대각선으로 원소들을 곱해서 빼는 방식으로 구할 수 있습니다. □ 3차 정사각행렬 3차 정사각행렬의 행렬식을 구해보겠습니다. 화살표 방면의 원소들을 곱해서 더하고 동그라미1, 2 번에서 나오는 결과를 빼서 행렬식을 구할 수 있습니다. 위 같은 방법은 3차 정사각행렬까지만 적용할 수 있습니다. ..
2020. 7. 30.
[이산수학]행렬의 종류(영행렬, n차 정사각행렬, 대각행렬, 단위행렬, 전치행렬, 대칭행렬, 부울행렬)
이산수학 행렬의종류(영행렬, n차 정사각행렬, 대각행렬, 단위행렬, 전치행렬, 대칭행렬, 부울행렬) 행렬은 형태 혹은 구성 원소에 따라 다음과 같은 종류로 나눌 수 있습니다. ■ 영행렬(Zero Matrix) 모든 구성요소가 0입니다. ■ n차 정사각행렬(n-Square Matrix) n × m 행렬에서 m = n인 행렬 ■ 대각행렬(Diagonal Matrix) ■ 단위행렬(Unit Matrix, Identity Matrix) 대각행렬에서 대각원소가 모두 1인 행렬 ■ 전치행렬(Transpose Matrix) 행과 열을 바꾼 n × m 행렬 전치행렬의 경우 역행렬을 구하는 데 유용하게 활용됩니다. ■ 대칭행렬(Symmetric Matrix) 예) ■ 부울행렬(Boolean Matrix, Zero-One..
2020. 7. 30.
[이산수학]행렬의 연산(덧셈, 뺄셈, 스칼라(실수) 곱,곱셈)_예제포함
이산수학 행렬의 연산(덧셈, 뺄셈, 스칼라(실수) 곱, 곱셈) 예제포함 행렬에서 직접적으로 가능한 연산은 덧셈, 뺄셈, 스칼라(실수) 곱, 곱셈입니다. ■ 행렬의 덧셈과 뺄셈 두 행렬 A, B에서 같은 자리에 있는 원소끼리 더하거나 뺍니다. 덧셈 표현: A+B 뺄셈 표현: A-B 행렬의 덧셈은 두 행렬의 크기가 같아야만 연산할 수 있습니다. 즉, 행렬 A의 크기가 n × m이면, 행렬 B의 크기도 n × m 이어야 합니다. □ 예제 ■ 행렬의 스칼라 곱(Scalar Multiplication) 행렬 A에 실수 k를 곱하는 연산 행렬에 실수 값을 곱하려면, 행렬의 각 원소마다 그 실수 값을 곱하면 됩니다. □ 예제 ■ 행렬의 곱셈 m × n 행렬 A와 r × s 행렬 B가 있고 n = r일 때, 즉 행렬 ..
2020. 7. 30.
[이산수학]집합의 종류는?(공집합, 부분집합, 진부분집합)
이산수학 집합의 종류는?(공집합, 부분집합, 진부분집합) ■ 전체집합(Universal Set) : 논의 대상이 되는 원소 전체를 포함하는 집합, U 예로 집합 A가 다음과 같다고 하면, A = {x | x > 13, x ∈ N} 집합 A는 원소 x를 가지는데, x는 13보다 큰 자연수입니다. 즉 집합 A는 자연수 중 13보다 큰 자연수의 집합이며, 집합 A를 포함하는 전체집합은 자연수집합(N)이 됩니다. ■ 공집합(Empty Set) : 하나의 원소도 포함하지 않는 집합, ∅ 또는 { } |∅| = 0 공집합은 어떠한 원소도 포함하지 않기 때문에 공집합의 기수는 항상 0입니다. ■ 부분집합(SubSet) - 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되는 경우, |A| ≤ |B| - A와 B가 상등이거나, ..
2020. 7. 29.
[이산수학]집합 관련 기본용어 정리(기수,상등,표기방식,포함관계)
이산수학 집합 관련 기본용어 정리(기수,상등,표기방식,포함관계) ■ 집합(Set) 명확한 기준에 의해 분류되어 공통된 성질을 가지며 중복되지 않는 원소(element, member)의 모임 영문 대문자(A, B, C, ...)로 나타냅니다. ■ 집합의 표기방식 1 원소나열법 - 집합에 포함된 원소를 일일이 나열하는 방법 - 주로 원소의 수가 유한일 때 사용합니다. - 원소들의 수가 많고, 원소들이 일정한 규칙을 가지는 경우 말줄임표(···)를 이용해 생략할 수 있습니다. 예) A = {1, 2, 3} 2 조건제시법 - 집합에 포함되는 원소의 공통적인 성질을 조건식으로 제시하는 방법 - 주로 원소의 수가 많거나, 무한일 때 사용합니다. - | 기호 중심으로 왼쪽에는 원소를 대표하는 변수를, 오른쪽에는 원소..
2020. 7. 29.
[이산수학]수의 종류와 각각의 닫힘 성질은?(자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수,복소수)
이산수학 수의 종류와 각각의 닫힘 성질은?(자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수,복소수) ■ 자연수 기수를 10으로 하는 수 체계로, 양의 정수 ※ 기수란? 현재 사용하고 있는 수의 체계를 알려줍니다. 기수가 10인 수는 10진수를 가리킵니다. ■ 정수 양의 정수, 0, 음의 정수로 구성된 수 체계 양의 정수: 0보다 큰 수로 숫자 앞에 + 기호 붙입니다 0: 양수도 음수도 아니라는 의미에서 중립원소라고 합니다. 음의 정수: 0보다 작은 수로 숫자 앞에 - 기호를 붙여 표현합니다. ■ 유리수 a, b ∈ Z(정수), a ≠ 0 인 경우 b/a인 수 체계 ■ 무리수 a, b ∈ Z(정수), a ≠ 0 인 경우 b/a로 표현할 수 없는 수 체계 ※ 유리수와 무리수의 차이는? 유리수와 무리수는 모두 실 수 ..
2020. 7. 29.
[이산수학]공리, 정의, 정리, 증명이란?_다양한 예로 이해하기
이산수학_증명_공리, 정의, 정리, 증명이란?_다양한 예로 이해하기 개발자가 직접 만든 프로그램이 뛰어나다는 것을 알리기 위해 프로그램의 처리속도, 유용성, 유지보수성 등 여러 가지 검증자료를 보여주는 과정을 증명이라고 합니다. 그럼 증명하기 위해 필요한 개념들에 대해 알아보겠습니다. ■ 공리(Axiom) 별도의 증명 없이 참(T)으로 이용되는 명제 예) - 어떤 것도 포함하지 않는 집합(공집합)이 존재한다. - 어떤 자연수 n에 대해, n+1이 존재한다. - 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다. ■ 정의(Definition) 논의의 대상을 보편화하기 위해 사용하는 용어 또는 기호의 의미를 확실하게 규정한 문장이나 식 예) - 한 내각의 크기가 직각인 삼각형을 직각삼각형이라..
2020. 7. 29.
